度量:一首献给数学的情歌

作者 : fanzhanfang 本文共8889个字,预计阅读时间需要23分钟 发布时间: 2019-04-9 共112人阅读

内容简介:只要有好奇心就会爱上的数学书,淋漓尽致阐述“数学是一门艺术”。美国著名数学老师,《一个数学家的叹息》作者Paul Lockhart力作《度量:一首献给数学的情歌》分别介绍了对形状和运动的度量。他以平实的语言将几何学和微积分的复杂概念以及两者之间的精妙关联解释得清晰易懂,生动展示了数学家都在做什么,以及他们为什么要这么做。在作者看来,数学是一门艺术,而老师教授数学的方法应该是,向学生诚实地传递自己对于这门学科的热爱,激发和激励他们与生俱来的好奇心,并帮助和引导他们实际投身到这段迷人的旅途中去。本书正是作者这一思想的最好体现。

本篇试读

论数学问题

数学问题是什么?对数学家来说,一个问题就是一次探索,就是对数学现实的一次测试,看看它会有怎样的性质。用我们通常的话来说,就是“用树枝捅一下”,然后看看会发生什么。面对某部分未知的数学现实(它可以是形状的构成,也可以是数字的模式,或者随便别的什么),我们想知道它是怎样运作的以及它为什么这样运作。因此,我们“捅”它一下,不过并不是用手或者树枝,而是要用我们的头脑。

我们来看一个例子,比如说你正拿着三角形在玩,并将它们剪切成新的小三角形,碰巧有了如下图所示的这个发现。

度量:一首献给数学的情歌

当你一一连接三角形的三个顶点与其对边的中点时,你发现这三条线似乎都相交于一点。于是你又试了很多不同形状的三角形,然而,似乎这三条线还是会相交于一点。现在,你发现了一个秘密。不过让我们认真想一想,这个秘密到底是什么呢?它与你所画的图无关,也与纸上正在发生的事情无关。用铅笔在纸上画出来的三角形是否也会这样相交,是一个关于物理现实的科学问题。比方说,如果你画的时候很粗心,这些直线可能就不会相交于一点。我想你也可以画得特别仔细认真,画完后放在显微镜下,不过即使这样,你也只是对石墨和纸纤维有了更多的了解,而不是对三角形。

这里,真正的秘密是关于三角形的,不过这个三角形实在太完美了,只能够存在于想象的数学现实中。而这里的问题则是,这三条同样完美的直线是否真的会相交于一点。铅笔和显微镜现在都帮不了你的忙。(在这本书中,我会一直强调数学现实与物理现实之间的区别,有可能会到你厌烦的程度。)那么我们要怎样处理这个问题呢?我们真的能够了解这样的想象出来的对象吗?这样的知识又会是什么样的形式呢?

在考察所有这些问题之前,让我们先暂时庆祝一下我们提出了这个问题,并欣赏一番这里所说的数学现实的性质。

度量:一首献给数学的情歌

这里,我们遇到的是一个隐藏很深的秘密。很明显,肯定有某种潜在的(目前对我们来说还是未知的)结构间的相互作用使这三条线相交于一点,这使我觉得有些不可思议,同时也有些吓人。三角形会知道哪些我们所不知道的呢?有时,想到所有美丽而深刻的真理就在那儿等着我们去发现、去将它们彼此联系起来,我就会感到不安。

那么,这里这个秘密到底是什么呢?秘密就是事情为什么会这样,三角形为什么愿意做这样一件事情呢?毕竟,如果你随机地扔下三根树枝,通常它们并不会相交于一点,而是会两两相交于三个点,并由此在三角形的中间形成一个小三角形。难道这不正是我们所期望发生的吗?

度量:一首献给数学的情歌

我们寻求的其实是一个解释。当然,之所以解释没有出现,一个可能的原因是这个认识本来就是错误的。也许我们是被自己一厢情愿的想法或者拙劣的图画欺骗了。在物理现实中有很多事情都是似是而非的,因此,很有可能只是我们没有看见这个由这三条线交叉形成的小三角形而已。也许它太小了,隐藏在污点与铅笔痕之间,所以我们看不见。不过话说回来,也有可能这三条线真的相交于一点,这个论断具有数学家希望在规律身上看到的许多特质:自然、优美、简洁以及某种必然性。因此,它很有可能是真的。但问题是,原因是什么呢?

这正是技术派上用场的地方。为了给出解释,我们必须要创造一些东西。也就是说,我们必须要构造出论证,即可以解释为什么这种现象会发生的推理过程,从而满足我们的好奇心。这是一个相当艰巨的任务。首先,画出或者构造出一系列的物理三角形,然后观察是否几乎所有的这些三角形都会这样,这对于我们的目的来说并不足够;这并不是解释,而更像是“大概的验证”。而我们遇到的问题则是更严肃的理论问题。

如果不知道这三条直线为什么会相交于同一点,我们又怎么会知道它们确实会相交于同一点呢?与物理现实相反,在数学现实中,我们并不能够观察到什么。对于纯粹想象的世界,我们怎么能够知道些什么呢?这里的关键是,什么是真的并不那么重要,重要的是为什么它是真的。只有知道了原因,我们才知道什么是真的。

这里我并没有想要低估我们通常的感觉的作用,丝毫没有这个意思。相反,我们迫切地需要那些有助于我们发挥直觉和想象力的东西,包括图画、模型、电影以及其他任何我们可以获得的东西。只是我们必须要知道:最终所有这些东西都不是真正的对话主题,也不能够告诉我们关于数学现实的真相。

因此,实际上我们现在正处于困境之中。我们发现了一个漂亮的事实,不过我们必须要证明它。这正是数学家一直在做的事情,我希望你也能够喜欢。

这样的事情做起来会特别难吗?是的,的确如此。那么有没有什么好的诀窍或者方法可以遵循呢?遗憾的是,没有。这是抽象的艺术,纯粹而简单;既然是艺术,总是需要人们付出努力的。我们都知道,漂亮、有内涵的绘画或者雕塑作品的创作并不存在什么系统的方法;优美、有意义的数学证明的产生也同样如此,并没有什么规律可循。真是很抱歉。而且数学还可以说是其中最困难的,不过这也正是我热爱它的理由之一。

因此,我并不能告诉你要怎么做,也不会手把手地教你或者在书的后面给出一些提示与解答。如果你想在心里画一幅画,那么画布的背面是不会有“画的答案”的。如果你正在解一道题并陷入苦思冥想之中,那么欢迎你加入我们的俱乐部,数学家也同样不知道要怎样求解他们的问题。如果我们知道了,那么这些问题也就不再是问题了。我们总是在未知的边缘上工作,也总是会被困住,直到有一天我们有了突破。我希望你也能够取得不少的突破,这真是一种难以置信的感觉!不过研究数学并没有什么特殊的捷径,我们所能够做的只是勤于思考,并希望在某个时刻灵感能够降临。

当然,我也不会直接把你拖入这片丛林,然后将你一个人留在那儿。不过,你依然需要充分发挥你自己的智慧和好奇心,因为这些就相当于你进入丛林时所携带的水壶和弯刀。或许,我可以向你提供一些一般性的建议,作为你进入这片丛林后的指南针。

第一个建议是,你自己的问题永远是最好的问题。作为勇敢的智力探索者,思想是你的,探险是你的。数学现实也是你的,它就存在于你的头脑中,你可以在任何你想的时候探索它。那么,你都有哪些问题呢?你又想去哪儿探索呢?我想提出一些问题供你思考,不过这些仅仅是我播下的种子,以帮助你培育出自己的数学丛林。不要害怕你回答不了自己的问题,对于数学家来说这是很自然的状态。此外,试着同时思考五到六个问题,紧抱着一个问题苦思冥想而没有丝毫进展,就像是一直在用头撞同一面墙,这是非常令人沮丧的。(如果有五六面可供选择的墙则要好得多!)说实在的,思考一个问题一段时间后休息一会,似乎总是会对我们有所帮助。

还有一个很重要的建议,那就是合作。如果你有一个朋友也愿意研究数学,那么你们可以一起,并相互分享其中的喜悦与挫折,这与共同演奏音乐很像。有时候,我会花六到八个小时与朋友共同研究一个问题,即使我们几乎没有取得任何进展,能够傻傻地待在一起我们还是很高兴。

那就让困难的问题来吧!尽量不要气馁或者太把你的失败放在心上,因为并不只有你在理解数学现实时会遇到困难,我们大家都会这样。同时,也不用担心你没有经验或者觉得你没有“资格”,能够使一个人成为数学家的并不是专门的技术和渊博的知识,而是永不满足的好奇心和对简单美的渴望与追求。做你自己吧,去你想去的地方吧!也不要害怕失败和混乱,要大胆地去尝试,去拥抱数学所有的惊奇和神秘,并快乐地将问题弄得一塌糊涂。是的,你的想法可能并不会起什么作用,你的直觉也可能是错误的。不过这都没有关系,我们依然欢迎你加入数学俱乐部。每天我都会有很多错误的想法,其他的数学家也不例外。

现在,我知道你正在想什么:前面我们对美和艺术以及创造过程的艰辛进行了大量粗略的、浪漫的讨论,这些都很不错,然而,我到底要怎样做呢?我还从来没有进行过任何数学证明,难道你就不能给我更多的提示,好让我能够继续走下去吗?

让我们回到前面所说的三角形和三条直线相交的问题。我们怎样才能够形成论证呢?或许,我们可以从观察对称的三角形开始。

度量:一首献给数学的情歌

这种类型的三角形,通常也称之为等边三角形(equilateral,拉丁语“边相等”的意思)。我知道,这样的三角形非常的特殊,不具有典型性。但这里我们的想法是:如果在这种特殊的情况下,我们能够设法解释为什么这三条直线会相交于一点,这或许可以为我们处理更一般的三角形提供一些有用的线索。当然,也有可能这种方法并不能派上什么用场。世事难料,我们只能够这样不断地去尝试、去探索,数学家们则喜欢称之为“搞研究”。

无论如何,我们都必须要有一个切入点。在这种特殊的情况下弄清楚某些问题至少要相对容易一些,我们的优势则是这个三角形特别的对称性。千万不要忽视了对称性!在很多情况下,它都是我们所拥有的最强有力的数学工具。(将它放进你的背包里,与水壶和弯刀放在一起。)

这里,对称性可以使我们得出这样的结论,即发生在三角形任意一条边上的事情也会发生在另外一条边上。换种方式说就是,如果我们将三角形沿对称轴翻转180度,那么三角形看起来还是会和原来完全一样。

特别地,三角形左右两条边的中点则会相互交换位置,同时连接它们到相对顶点的两条直线也会相互交换位置。

不过这也意味着,这两条直线的交点不会位于对称轴的任何一侧;否则的话,当我们将三角形翻转180度时,这个交点就会移动到另外一侧。如果出现这种情况的话,我们就能够说这个三角形翻过来了。

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因此,这个交点事实上必然位于这条对称轴上。很明显,第三条直线(连接最上面的顶点与底边中点的直线)就是对称轴本身,所以这就是为什么这三条直线会相交于一点。难道这不是一个很好的解释吗?

这就是数学论证的一个示例,此外它也被称为证明。一个证明就是一个故事,问题的要素扮演其中的角色,而故事的情节则完全取决于你。与任何虚构文学作品一样,我们的目标是写出一个叙事引人入胜的故事。就数学来说,这意味着情节不仅要合乎逻辑,同时也要简单优美,没有人会喜欢曲折、复杂的证明。毫无疑问,我们需要遵从理性前进,但同时我们也想被证明的魅力和美征服。一句话,证明既要漂亮,也要符合逻辑,两者缺一不可。

这让我想到了另外一条建议:改进你的证明。虽然你已经给出了解释,但这并不意味着它就是最佳的解释。你能够减少其中不必要的混乱或复杂之处吗?你能够找到一种完全不同但却能让你更加深入地理解问题的证明方法吗?证明,证明,继续证明,对于研究数学的人来说,这就是通常所说的“拳不离手,曲不离口”。画家、雕塑家以及诗人也是这样。

比如说我们刚才的证明,虽然逻辑清晰简单,但却显得有些主观。尽管我们基本上是在用对称性证明,但是我们给出的证明却有让人感觉不对称的地方(至少对我来说是如此)。具体来说,我们的证明似乎偏向其中的一个顶点。虽然说选定一个顶点并以经过这个顶点的直线作为对称轴并没有什么不妥,不过既然我们的三角形是完全对称的三角形,我们似乎不必做出这种主观的选择。

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其实,除了镜像对称之外,我们也可以利用这个三角形的另外一个性质,即旋转对称。也就是说,如果我们将这个三角形绕着一个点旋转三分之一个周角,那么它看起来还和原来一样。这就意味着,这个三角形必然有一个中心点。

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现在,我们沿着三条对称轴中的任意一条翻转这个三角形(并没有偏向任何一个顶点),三角形都不会发生变化,因此它的中心点必然固定不动。这说明,这个中心点位于所有三条对称轴上。所以这就是这三条直线相交于一点的原因。

这里,我并不是想说,与前面的证明相比,这个证明更好或者完全不同。(事实上,还有很多其他的证明方法。)我想说的是,用两种以上的方法求解一个问题,可以使我们对这个问题有更深的理解和领悟。特别地,第二个证明不仅告诉我们这三条直线相交于一点,而且告诉了我们这一点的位置,即三角形的旋转中心。不过我很好奇,这一点到底在哪儿呢?具体地说,等边三角形的中心离顶点会有多远呢?

这本书中,会有很多这样的问题出现。要想成为一个数学家,我们工作的一部分就是要学会提出这样的问题,用探索的拐杖四处寻找那些未被发现的、令人兴奋的真理。本书中,我所想到的问题与疑问都会用楷体来表示。这样,如果你愿意的话,你就可以思考并研究它们,同时希望它们能够帮助你想出你自己的问题。下面是我给你的第一个问题:

等边三角形的中心在哪儿?

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现在我们继续回到最开始的问题,可以看到我们几乎没有取得任何进展。对于等边三角形,我们可以解释为什么它的三条中线会相交于一点了,但是我们的证明是如此地依赖对称性,很难看出这样的证明对更一般的情形能够有什么帮助。事实上,我想,我们的第一个证明也适用于两条边相等的三角形。

其原因是,这种类型的三角形,即通常所称的等腰三角形,也有一条对称轴。这是一个很好的一般化的例子,即使一个问题或者论证能够在更大的范围内有意义。不过对于一般的不对称的三角形,我们的证明显然不能够成立。

这使得我们处于数学家们再熟悉不过的境地,即通常所说的被困住了。我们需要有一种新的想法,最好是不那么依赖对称性的想法。所以下面我们回到绘图板,看看能否获得一些新的灵感。

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我们还能够做些什么别的事情来处理这些角色吗?这里,我们的角色是三角形、它的各条边的中点,以及各边相对的顶点与其中点的连线即中线。

我们来看这样一个想法:如果我们连接这三个中点,会怎么样呢?会有什么有趣的事情发生吗?作为数学家,你必须要做这样的事情,即不断地尝试。它们会起作用吗?它们会带来有用的信息吗?通常情况下,答案都是不会。但你不能只是坐在那儿,盯着某个形状或者数字;你需要去尝试,尝试所有可能的事情。随着你做的数学研究越来越多,你的直觉和本能反应会越来越敏锐,你的想法也会越来越成熟。那么我们怎么知道去尝试哪一个想法呢?事实是我们并不知道,只能够依靠猜测。有经验的数学家都对结构很敏感,因此他们的猜测很有可能就是正确的,不过即使是他们也仍然需要猜测。所以,我们不妨也猜测一下。

重要的是,千万不要害怕,所以我们可以尽管尝试一些很疯狂的想法,即使错了也没有什么太大的关系。这样一来,我们就能够与前贤为伴了!阿基米德,高斯,你以及我,我们都在摸索着穿越数学现实的道路,都想要理解其中正在发生的事情。因此,我们一直不停地猜测,不停地尝试新的想法,绝大多数时候也在不停地经历失败。当然,偶尔,我们也会成功。(如果你是阿基米德或者高斯的话,你成功的次数或许会更多一些。)解开千古之谜的信念,则是我们一次又一次返回数学丛林并从头开始的动力。

所以,我们可以设想你一直在尝试不同的想法,然后有一天你想到了可以试试连接三角形三条边的中点。

你注意到什么了吗?是的,我们将原始的三角形切分成了四个小的三角形。在三角形对称的情况下,这些小三角形很明显是相同的。那么一般情况下呢?

这些小三角形还是相同的吗?事实上,其中的三个看起来似乎就是原始的三角形缩小后的样子(各条边都是原来一半的长度)。这是真的吗?中间的那个小三角形又是什么情况呢?它也与其他的小三角形相同,差别只是它颠倒过来了吗?这里我们到底会有什么意外的发现呢?

我们意外地发现了一丝的真理、模式和美,这就是我们的发现。也许它会导致一些我们完全没有预料到的事情发生,而这些事情也很有可能与我们最开始的问题完全无关。所以,不妨就让它这样吧。我们所讨论的三条中线相交的问题并没有什么神圣的,它与其他任何问题一样。如果你对一个问题的思考把你带到另外一个问题上,那么恭喜你,你干得不错!现在,你有两个需要研究的问题了。我的建议是:保持头脑灵活开放。让你的问题带着你走。要是你在丛林里遇到了一条河,那就沿着河岸继续走。

这四个小三角形都是相同的吗?

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现在,我们假设它是正确的。顺便提一句,这完全是一件很好的、值得做的事情。数学家总是会做出各种假设,然后看一看会发生什么(古希腊人甚至有一个专门的词,他们称之为分析)。事实上,人类已经发现了成千上万个很明显的数学真理,并且相信它们都是正确的。然而,到目前为止我们还无法给出证明,并把它们称为猜想。所谓猜想,就是那些你认为是正确的关于数学现实的表述(通常你也能够举出一些例子支持它,因此猜想是合理的、有根据的猜测)。我希望,在读这本书以及研究数学时,你会发现自己一直在提出各种各样的猜想。或许,你甚至可以证明你的某些猜想,给出证明之后,你就可以称它们为定理。

假设我们关于这四个小三角形是相同的猜想是正确的(当然,我们还想要非常好的证明),下面的问题就是,它可以帮助我们解决原来的问题吗?也许可以,也许不可以,你需要具体地看一看你能够从中推导出什么。

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实际上,一旦踏上从事数学研究之路,就意味着你在进行有目的的玩耍,你会进行观察并且会有一些发现,然后你会构造一些例子(以及一些反例),再形成猜想,最后还有最难的一步,也就是证明这些猜想。我希望,你能够发现这项工作有趣、迷人、充满挑战,而且十分有益。

因此,我将把三角形的三条中线相交的问题留给能干的你。

这让我想起了我给你的下一条建议:评论你的工作。你不仅需要对自己的论证进行严格的自我批评,同时也要将它交给他人进行严格的批评。所有的艺术家都会这样做,数学家则更加严格。正如前面我所说的,一个完全合格的数学证明,必须要经得起以下两种完全不同类型的批评:作为理性的论证,它必须合乎逻辑、令人信服;同时还要优美,富于启发性,能够给人情感上的满足。我知道,这样的标准有些苛刻,很难达到。对此,我很遗憾,不过这正是艺术的本质要求。

然而,美学的评论显然是相当个人化的,它们会随着时间和地点的改变而改变。发生在数学上的美学的变化并不比其他人类活动上的要少:一千年前甚至一百年前人们认为是很漂亮的证明,或许在今天看来就既笨拙,也谈不上优美。(例如古典的希腊数学,如果用现代的眼光去看,就会发现其中有很多内容相当糟糕。)

对于这一点,我的建议是,不用为自己达不到某个不切实际的高的审美标准而担忧。如果你对自己的证明满意(大部分人都会为自己来之不易的创造而感到自豪),那就说明它还不错;如果你在某些方面对它并不满意(我们大家都会这样),那就说明你还可以做得更好。随着经验的积累,你的品位也会逐渐地成长提高,或许你会发现你不再满意之前的某些证明。事情本来就应该如此。

我想,这一建议同样也适用于逻辑合理性。随着你做的数学研究越来越多,你也会变得越来越聪明。同时,你的逻辑推理过程也会越来越严谨,你甚至会慢慢培养出数学的“鼻子”;你会学会怀疑,也会意识到有些重要的细节被忽略了。如此种种,我们都乐见其成。

现在,还有这样一些有些令人讨厌的数学家,他们见不得我们任何时候做出错误的论述。不过,我不是他们中的一员,我相信任何伟大艺术的产生过程都会或多或少地存在着混乱与错误。因此,你在数学领域的第一篇文章很有可能充满了逻辑错误。你相信有些事情是正确的,不过实际上它们却不是,这样一来,你的推理就会有缺陷,然而你却急于得出结论。不过,这也没什么,就按照你自己的思路来吧,因为你唯一需要满足的就是你自己。请相信我,你会自己发现推理过程中的很多错误。很有可能,早晨你还自认为是一个天才,到了中午,你就会自嘲是一个蠢材了。这样的事情,我们都曾经历过。

部分原因是,我们太过于关注想法的简单和漂亮,以至于当我们真的产生了一个漂亮的想法时,我们太愿意相信它了。我们是如此地希望它是正确的,以至于我们没有对它进行应有的审查。这就是数学中的“深海的眩晕”,潜水员看见了如此漂亮的景色以至于他们忘记了换气。在数学中,逻辑就是我们的空气,呼吸则需要依靠缜密的推理,所以千万不要忘记了呼吸!

你和有经验的数学家之间的真正区别是,他们见过更多的可以自我欺骗的方法,所以他们会有更多的疑惑,并因此而坚持更高标准的逻辑严密性。同时,他们也喜欢唱唱反调,提出一些质疑。

当我在研究某个猜想时,我也总是会考虑它会不会是错误的。有时我会证明自己的想法;有时我则会反驳自己的想法,即去证明我自己是错误的。偶尔,我还会找出一个反例,它表明我的确被误导了,因此我需要修正或者放弃我的猜想。还有一些时候,我构造反例的意图总是会遇到一些阻碍,这些阻碍后来则成为了我最终证明的关键。关键是要保持开放的头脑,不要让你的期望和愿望干扰你对真理的追求。

当然,与我和我的数学家同行们最终都会坚持最严格的逻辑缜密标准一样,我们也能够凭借经验知道什么时候一个证明的“气味正确”;显然,我们也可以给出必要的细节,如果我们想这样做的话。真实的情况是,数学是一种人类智力活动,既然是人,犯一些错误也是在所难免的。伟大的数学家都曾“证明”过无稽之谈,何况你我这些普通的人。(这是另外一个与他人合作的很好的理由,他们会对证明中你忽略的地方提出异议。)

重要的是,我们需要走入数学现实,去探索发现并享受这样的过程。不用担心,你对逻辑缜密性的要求会随着你的经验的增长而相应地提高。

所以,继续你的数学探索之旅吧!同时,以你自己的理性与审美要求为准则。它能使你感到高兴吗?如果是的话,那很不错!还有,你想成为一个备受折磨却不言放弃的艺术家吗?如果还是的话,那就更好了!欢迎你进入数学的丛林!

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本篇作者:[美]保罗·洛克哈特(Paul Lockhart) 以上内容摘录于书籍:《度量:一首献给数学的情歌》。

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